Der Fehler lag an meinem Hoster!
Hier ein kleiner Auszug aus dem Shopware Forum:
"Das Problem ist eine Konfiguration des Hosters, der verhindert, dass Skripts URLs öffnen; und genau das ist, was man beim Bilderimport macht.
Um zu prüfen, ob das auch bei dir das Problem ist, schaue im Shopware-Backend unter Einstellungen->Systeminfo nach, und zwar bei Server-Einstellungen.
Dies zeigt dir dann deine aktuellen Einstellungen deines Webservers.
Jetzt suche den Parameter "allow_url_fopen" und schau, ob das ein grünes Häkchen hat.
Wenn nicht, ist das dein Problem: dieser Wert muss aktiv sein, sonst bekommst du genau deine Fehlermeldung."
Das hat das Problem gelöst!